求一个数的开平方

我们假设这个数是a，如何先快速求出√a的值？

我们可以把这个题目转化成一个几何问题。如下图：

image.png

可以转换为，求公式Y = X^2 - a，（√a,0）的值。

  • 我们现在抛物线上任意取一点（x0，x0^2 - a）, 然后基于这一点画一个切线，切线的方程记为Y = KX + b。
  • 切线的斜率 K，我们可以对抛物线求导，得到 K = 2 * x0
  • 带入到切线的方程可以得 Y = 2 * x0 * X + b
  • 因为切线经过点（x0，x0^2 - a），带入切线方程，就有 x0^2 - a = 2 * x0^2 + b
  • 转而得到b = -x0^2 - a
    image.png
  • 然后带入到之前的切线的方程 Y = 2 * x0 * X + b 可得 Y = 2 * x0 * X - x0^2 - a，把。
  • 把（x1, 0）带入上面的切线方程得到x1 = x0^2 + a / (2 * x0)
  • 重复上面的步骤，在抛物线上取一点（x1，x1^2 - a）, 最终可以得到 x2 = x1^2 + a / (2 * x1)
  • 随着这样不停的递归迭代。 x值会慢慢趋向于（√a,0） （因为切线是线性逼近线与抛物线只有一个交点）

最终用代码实现的牛顿开方法如下：

const det = 1e-5 // 误差多少

func sqrt(a float64) float64 {
    x0 := a
    for {
        x1 := (x0*x0 + a) / (2 * x0)
        if math.Abs(x1-x0) < det {
            return x1
        }
        x0 = x1
    }
}