一、Lesson 1
1.1 方程组的几何解释
上面方程组我们可以写成矩阵形式
上面的矩阵可以看成 Ax = b的形式 :
- 系数矩阵(A)：将方程系数按行提取出来，构成一个矩阵
- 未知向量(x)：将方程未知数提取出来，按列构成一个向量。
- 向量(b) ：将等号右侧结果按列提取，构成一个向量
1.1.1 行图像
在坐标系上画出“行图像”，可以知两个线交点就是我们要求的解
1.1.2 列图像
从列图像的角度，我们再求这个方程可以看成矩阵：
1.2 方程组的几何形式推广
1.2.1 高维行图像
我们将方程维数推广，从三维开始，如果我们继续做行图像求解，那么会的到一个很复杂的图像。
矩阵如下：
如果绘制行图像，很明显这是一个三个平面相交得到一点，我们想直接看出 这个点的性质可谓是难上加难，比较靠谱的思路是先联立其中两个平面，使其相 交于一条直线，在研究这条直线与平面相交于哪个点，最后得到点坐标即为方程 的解。
这个求解过程对于三维来说或许还算合理，那四维呢？五维甚至更高维数 呢？直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也越来越多。
1.2.2 高维列图像
我们使用列图像的思路进行计算，那矩阵形式就变为：
左侧是线性组合，右侧是合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多 了，“寻找线性组合”成为了解题关键。
1.2.3 不能求解的场景
另外，还要注意的一点是对任意的 b 是不是都能求解 Ax = b 这个矩阵方程呢？ 也就是对 33 的系数矩阵 A，其列的线性组合是不是都可以覆盖整个三维空间呢？ 对于我们举的这个例子来说，一定可以，还有我们上面 22 的那个例子，也可以 覆盖整个平面，但是有一些矩阵就是不行的，比如三个列向量本身就构成了一个 平面，那么这样的三个向量组合成的向量只能活动在这个平面上，肯定无法覆盖 2 −1 1 一个三维空间，
比如三个列向量分别为
由于第一列+第二列=第三列，第三列向量并没有任何作用。
上面的矩阵，只能构成一个平面，这样的矩阵构成的方程Ax = b,其中的b就无法覆盖整个三维空间，也就无法实现：对任意的b，都能求解 Ax = b这个方程。
1.3 矩阵乘法
行列式乘法，C_1_1 = A(Row 1) * B(Col 1)
Lesson 2
本节主要内容是矩阵消元和逆矩阵。
2.1 消元矩阵
写成矩阵形式 Ax = b
矩阵消元其实跟方程消元差不多，不过矩阵消元得到的结果是最终是一个下三角都是0的矩阵（上三角矩阵）。
主元：U(1,1),U(2,2),U(3,3) 我们视为主元(pivot)
注： 并不是所有的 A 矩阵都可消元处理，需要注意在我们消元过程中，如果 主元位置（左上角）为 0，那么意味着这个主元不可取，需要进行 “换行”处理， 首先看它的下一行对应位置是不是 0，如果不是，就将这两行位置互换，将非零数视为主元。
如果是，就再看下下行，以此类推。若其下面每一行都看到了，仍然没有非零数的话，那就意味着这个矩阵不可逆，消元法求出的解不唯一(其实就是少了一个变量，求解不了方程)。下面是三个例子：
我们把上面的U 带回方程Ax = b
2.2 单位阵
我们很显然验证单位阵与任意矩阵相乘，不改变矩阵。例如：
再看下上面的消元过程
第一步是把第一行乘以 -3 然后加上第二行。所以有
所以第一步消元矩阵就是
结论： 求消元矩阵，其实就是从“单位阵”开始，按照A每次变化消元的步骤操作 I 矩阵，分别能得到E(row,clo),最后累积得到E即可。
2.3 行列变换
由上面的“单位阵”起发，不难得到交换2 x 2矩阵行列矩阵为：
所以左乘同行交换，右乘同列交换
2.4 逆矩阵
E(2,1) 是基于“单位阵 I” 第一行*(-3)加第二行得到：
反之，我们在第二行上加上第一行乘以3可以复原这一运算过程：
Lesson 3
3.1 矩阵乘法
3.2 列组合
矩阵乘法也可以拆解成矩阵和向量乘法
这种方法的关键就是将右侧矩阵 B 看做列向量组合，将问题转化为矩阵与向量的乘法问题。也表明了矩阵 C 就是矩阵 A 中各列向量的线性组合，而 B 其实是在告诉我们，要以什么样的方式组合 A 中的列向量。
3.3 行组合
与上面列组合有点相似
3.4 逆矩阵
对于一个方阵A，如果A可逆，就有这样一个A-1使得
如果A不是方阵，左侧的A-1和右侧的A-1肯定不相等。违背了我们说的有唯一的一个A-1
或者换个看法，我们看到这个矩阵中两个列向量[1,2] ,[3,6],他们是线性相关的，他们之前互为倍数，也就是说这两个向量之一对其线性组合无意义，那么A不可能有逆。所有推出：
若存在非零向量x，使得 Ax = 0， 那么A就不可能有逆矩阵。
因为如果 A 有逆，在 Ax=0这个等式两端同时乘上A-1就有：
而 I 是单位矩阵，x 又是一个非零0的向量所以不可能是零向量。自相矛盾，所以此时A没有逆矩阵。
3.5 高斯消元求逆矩阵
高斯消元来求逆矩阵
所以逆矩阵为
